Matemática 1ºBGU: 2016

Inecuaciones cuadráticas con valor absoluto

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo < o > se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.

Para resolver las inecuaciones cuadráticas con valor absoluto se deben considerar las propiedades principales de las desigualdades del valor absoluto.
• |x| >= b si y solo si x <= -b o x >= b
• |x| <= b si y solo si -b <= x <= b

Ejemplos: http://profe-alexz.blogspot.com/2012/11/inecuacion-con-valor-absoluto.html

Ecuaciones cuadráticas con valor absoluto

El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo.

Para resolver ecuaciones cuadráticas con valor absoluto, es necesario revisar los resultados obtenidos aplicando diferentes métodos.

El procedimiento es similar al de las ecuaciones lineales con la diferencia que en este caso las ecuaciones que resultan son cuadráticas y para resolverlas es necesario factorizarlas o utilizar la fórmula cuadrática.

Hallar el valor de x:

x 2 - 9 = x + 3

Solución:
x2-9 es el argumento, entonces decimos que:

x 2 - 9 = x + 3		x 2 - 9 = - x + 3
x 2 - x - 1 2 = 0		x 2 - 9 = - x - 3
x - 4 x + 3 = 0		x 2 + x - 6 = 0
x = 4 x = - 3		x + 3 x - 2 = 0
		x = 2 x = - 3

Resolviendo cada ecuación, tenemos que: x=4, x=-3 y x=2
Reemplazando cada valor de x en la ecuación original tenemos:

x 2 - 9 = x + 3	x 2 - 9 = x + 3	x 2 - 9 = x + 3
4 2 - 9 = 4 + 3	- 3 2 - 9 = - 3 + 3	2 2 - 9 = 2 + 3
1 6 - 9 = 7	9 - 9 = 0	4 - 9 = 5
7 = 7	0 = 0	- 5 = 5
7 = 7	0 = 0	5 = 5

Los 3 valores de x hallados satisfacen la ecuación original, entonces concluimos que las soluciones de la ecuación son: 4, -3 y 2.

Otra explicación: http://www.analyzemath.com/spanish/Equations/Absolute_Value_Tutorial.html

Inecuaciones cuadráticas con dos variables

Las inecuaciones cuadráticas con dos variables solo se pueden resolver gráficamente.

Resolver una inecuación cuadrática con dos variables significa determinar, de entre las dos posibles regiones aquella en la que se cumple la condición dada.

Pasos:

1. Se traza la recta de la ecuación ax + by + c = 0

2. Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la recta y se comprueba si verifican la inecuación dada

3. Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la inecuación

Otra explicación: http://d05alejandrogarcia1a4.blogspot.com/

Inecuaciones cuadráticas

Una inecuación cuadrática es una inecuación de la forma:

ax^2 + bx + c < 0

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: > , ≤ o ≥.

Resolver inecuaciones cuadráticas consiste en encontrar los intervalos en los que se cumple la desigualdad dada.

Ejemplo:
Resolver la siguiente inecuación x 2 + 4 x - 5 ≥ 0

Solución:

Paso 1: Escribir la inecuación en la forma general a x 2 + b x + c ≥ 0 .
En este caso, la inecuación ya se encuentra escrita en su forma general.

Paso 2: Factorizar el lado izquierdo de la inecuación. O si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el lado izquierdo de la inecuación es igual a cero, ya sea, completando al cuadrado o usando la fórmula cuadrática.

x 2 + 4 x - 5 = ( x + 5 ) ( x - 1 )

Paso 3: Hallar los intervalos de prueba, igualando cada factor a cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica.

x + 5 = 0 x = - 5

x - 1 = 0 x = 1

Paso 4: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

Intervalo	Punto de Prueba	Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , - 5 )	x = -6	( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) - 5 = 7
( - 5 , 1 )	x = 0	( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) - 5 = - 5
( 1 , ∞ )	x = 2	( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 5 = 7

Paso 5: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 0 .
La solución se puede expresar de distintas formas:

Expresando la solución como conjunto:x x ≤ -5 ó x ≥ 1
Expresando la solución como intervalo( - ∞ , - 5 ] ∪ [ 1 , ∞ )
Gráficamente

Mas ejemplos: http://www.vitutor.net/2/9/inecuaciones_cuadraticas.html

Sistemas cuadráticos

Un sistema de ecuaciones de segundo grado o cuadrático es aquella en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x²).

Pueden ser:

1.- Compatible determinado: Cuando hay uno o dos cortes.

2.- Compatible indeterminado: Si las parábolas son coincidentes.

3.- Incompatible: Cuando las parábolas no se cortan en ningún punto.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.

Ejemplos:

Mas explicaciones:

http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L2_T2_text_final_es.html

Posición relativa entre una recta y una parábola

Con respecto a una parábola, una recta puede ser:

1.- La recta es tangente la parábola. Tienen un solo punto en común.

2.- La recta es secante. En este caso su intersección son dos puntos.

3.- La recta no corta a la parábola. No hay ningún punto en común para ambas.

Ejemplo:

Mas ejercicios y explicaciones:

http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//1750/1975/html/21_posiciones_relativas_de_rectas_y_parbolas_sistemas.html

Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax²+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Caso 1. Forma ax^2 = 0
En este caso la respuesta siempre será 0.

Caso 2. Forma ax^2 + bx = 0
Para resolverlo basta sacar el factor común de x e igualar los dos factores a 0.

Ejemplo:

Resolver la ecuación:
x^2+ 2x -8 = 0

Se despeja tomando en cuenta los signos:

( x + ) (x - ) = 0

Buscamos dos numeros que multipliquen y den el valor de c (-8) y que a la vez sumen y el valor sea igual a b (2).
(x + 4 ) (x – 2) = 0

Igualamos los factores a 0.
x + 4 = 0       x – 2 = 0

Despejamos hasta hallar la solución.

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

Resolviendo ecuaciones cuadráticas con la fórmula:
http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L1_T3_text_final_es.html

Por método de factorización

Por la fórmula general

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática o función de segundo grado es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax^2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero.

Al representar gráficamente una función cuadrática se obtiene una parábola.

Si en la función y= ax^2 + bx + c, a > 0, entonces, la parábola abre hacia arriba. En este caso, el vértice es un punto mínimo.

Si en la función y= ax^2 + bx + c, a < 0, entonces, la parábola abre hacia arriba.En este caso, el vértice es un punto máximo.

La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación

. Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal.